Elip
Lý thuyết.
Định nghĩa.
Hai điểm F1, F2 gọi là các tiêu điểm của Elip. Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của elip.
Phương trình chính tắc của Elip.
Cho elip như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox. Giả sử điểm M(x;y) nằm trên elip (E). Khi đó ta có:

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip đã cho.
Hình dạng của Elip.
a). Tính đối xứng.
Cho elip có phương trình (1). Nếu điểm M(x0; y0) nằm trên elip thì các điểm sau đây cũng nằm trên elip: M1(-x0; y0), M2(x0; -y0), M3(-x0; -y0). Ta có tính chất :
Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
b). Hình chữ nhật cơ sở. (vẽ hình)
Elip với phương trình chính tắc (1) cắt trục Ox tại hai điểm A1(-a; 0), A2(a; 0), cắt trục Oy tại hai điểm B1(0; -b), B2(0; b). Bốn điểm đó gọi là các đỉnh của elip.
Trục Ox được gọi là trục lớn, cũng gọi A1A2 là trục lớn, 2a là độ dài trục lớn.
Trục Oy được gọi là trục bé, cũng gọi B1B2 là trục bé, 2b là độ dài trục bé.
Vẽ qua A1, A2 hai đường thẳng song song với trục tung ( x= -a, x=a), vẽ qua B1, B2 hai đường thẳng song song với trục hoành (y = -b, y=b). Bốn đường thẳng đó cắt nhau tạo thành hình chữ nhật PQRS. Ta gọi hình chữ nhật đó là hình chữ nhật cơ sở của elip. Ta có tính chất:
Mọi điểm của elip (1) nếu không phải là đỉnh đều nằm trong hình chữ nhậtk cơ sở của nó. Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
c). Tâm sai.
Đ/n: Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và được ký hiệu là e, e
Ta có 0 < e < 1. Và e =
Ngoài ra ta có: nên khi e càng gần 0, thì b càng gần a, khi đó đường elip càng béo. Khi e càng gần 1 thì b càng gần 0, hình chữ nhật cơ sở càng dẹt, do đó elip càng gầy.
d). Elip và phép co đường tròn.
Bài toán: Trog mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 = a2 và một số k, 0Giải. Đặt b = ka, thì tập hợp các điểm M’ là elip (E) có phương trình (1). Người ta nói phép co về trục hoành theo hệ số k biến đường tròn (C) thành elip (E).
Đường chuẩn của elip.
Cho elip có phương trình chính tắc (1). Khi đó đường thẳng (1: gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F1(-c; 0); đường thẳng (2: gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F2(c; 0). Ta có tính chất sau:
Với mọi điểm M thuộc elip, ta luôn có: