CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN
I.Những kiến thức cơ bản:
1.Định nghĩa: Đường tròn là tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm I
cho trước một khoảng bằng R cho trước.
- Điểm I gọi là tâm của đường tròn
- R gọi là bán kính của đường tròn.
Nếu đường tròn có tâm I bán kính R thì ký hiệu là (I; R).
2.Phương trình của đường tròn :
-Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(a; b) bán kính R. Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn (I, R) khi và chỉ khi IM = R hay IM2 = R2
Khi và chi khi :(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của đường tròn tâm I(a; b) bán kính R
-Khai triển phương trình (1) ta được phương trình:
f(x; y) = x2 + y2 – 2ax - 2by + a2 + b2 – R2 = 0
Đặt a2 + b2 – R2 = c ta có f(x; y) = x2 + y2 – 2ax - 2by + c = 0.
Ta cũng chứng minh được mọi phương trình có dạng:
f(x; y) = x2 + y2 – 2ax - 2by + c = 0 thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 – c > 0 đều là phương trình của một đường tròn tâm I(a; b) bán kính

3.Vị trí tương đối của hai đường tròn: Cho hai đường tròn (I1,R1) và (I2, R2) xảy ra 5 trường hợp về vị trí tương đối của chúng
-Trường hợp 1: (I1,R1) và (I2, R2) chứa nhau khi và chỉ khi

-Trường hợp 2: (I1,R1) và (I2, R2) tiếp xúc trong khi và chỉ khi

-Trường hợp 3: (I1,R1) và (I2, R2) cắt nhau khi và chỉ khi
.
-Trường hợp 4: (I1,R1) và (I2, R2) tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi

-Trường hợp 5: (I1,R1) và (I2, R2) ngoài nhau khi và chỉ khi



4.Tiếp tuyến của đường tròn:
a.Định nghĩa: đường thẳng
gọi là tiếp tuyến của đường tròn (I,R) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng đó bằng bán kính R của đường tròn.


b.Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
*Định lý: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C ) có phương trình:
. M(x0; y0) là một điểm nằm trên đường tròn thì tiếp tuyến của (C ) tại M có phương trình là:


-Đặc biệt khi đường tròn có tâm là gốc tọa độ thì tiếp tuyến tại M có phương trình là:

* Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua một điểm
Bài toán: Cho đường tròn (C):
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(x0;y0).
Cách giải:
Cách 1:
- xét vị trí tương đối của điểm M đối với đường tròn (C ) kết luận số tiếp tuuyến của (C ) đi qua M.
-Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc k : y = k(x – x0) + y0
Hay: kx – y – kx0 + y0 = 0
-Sử dụng điều kiện để (d) tiếp xúc với (C ) là: khoảng cách từ M đến (d) bằng bán kính R để tìm k.
Chú ý : nếu từ M có hai tiếp tuyến với (C ) mà chỉ tìm được chỉ một giá trị của k thì ta kiểm tra khoảng cách từ M đường thẳng có phương trình x = x0 và kết luận đường thẳng x = x0 là tiếp tuyến của đường tròn.
Cách 2 :
- xét vị trí tương đối của điểm M đối với đường tròn (C ) kết luận số tiếp tuuyến của (C ) đi qua M.
- Đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy có phương trình là ax + by + c = 0.với a2 + b2 khác 0. (d) đi qua điểm M(x0;y0) nên ax0 + by0 + c = 0 .
suy ra: c = - ax0 + by0 vậy đường thẳng (d) có phương trình ax + by - ax0 + by0 = 0.
- Sử dụng điều kiện để (d) tiếp xúc với (C ) là: khoảng cách từ M đến (d) bằng bán kính R để tìm mối quan hệ giữa a và b rồi chọn a